একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি 11. লব থেকে 2 বিয়োগ করলে ও হরের সাথে 3 যোগ করলে ভগ্নাংশটি $\frac{1}{2}$ হয়। ভগ্নাংশটি কত?

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, ভগ্নাংশটির লব = \(x\)
এবং ভগ্নাংশটির হর = \(y\)
সুতরাং, ভগ্নাংশটি = \(\frac{x}{y}\)

প্রথম শর্তানুসারে,
\(x + y = 11\)
\(\Rightarrow y = 11 - x\) ————— (১ নং সমীকরণ)

দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
\(\frac{x - 2}{y + 3} = \frac{1}{2}\)

এখন, ১ নং সমীকরণ থেকে \(y\)-এর মান বসিয়ে পাই:
\(\frac{x - 2}{(11 - x) + 3} = \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x - 2}{14 - x} = \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2(x - 2) = 1(14 - x)\) [আড়গুণন করে]
\(\Rightarrow 2x - 4 = 14 - x\)
\(\Rightarrow 2x + x = 14 + 4\)
\(\Rightarrow 3x = 18\)
\(\Rightarrow x = \frac{18}{3}\)
\(\Rightarrow x = 6\)

লব \(x\)-এর মান ১ নং সমীকরণে বসিয়ে হর \(y\)-এর মান পাই:
\(y = 11 - 6\)
\(\Rightarrow y = 5\)

অতএব, ভগ্নাংশটি = \(\frac{x}{y} = \frac{6}{5}\)

💡 শর্টকাট টেকনিক (অপশন টেস্ট):

চাকরির পরীক্ষায় সময় বাঁচানোর জন্য আমরা অপশনগুলো যাচাই করে খুব সহজেই সঠিক উত্তরটি বের করতে পারি।

• ১ম অপশন \(\frac{6}{5}\) যাচাই করি:
     লব ও হরের সমষ্টি = \(6 + 5 = 11\) (প্রথম শর্ত মিলেছে)।
     লব থেকে ২ বিয়োগ করলে এবং হরের সাথে ৩ যোগ করলে ভগ্নাংশটি দাঁড়ায়: \(\frac{6 - 2}{5 + 3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) (দ্বিতীয় শর্তও মিলেছে)।
     যেহেতু ১ম অপশনটিই সকল শর্ত পূরণ করে, তাই এটিই সঠিক উত্তর।    

• ২য় অপশন \(\frac{5}{6}\) যাচাই করি:
     লব ও হরের সমষ্টি = \(5 + 6 = 11\) (প্রথম শর্ত মিলেছে)।
     লব থেকে ২ বিয়োগ এবং হরের সাথে ৩ যোগ করলে ভগ্নাংশটি দাঁড়ায়: \(\frac{5 - 2}{6 + 3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \neq \frac{1}{2}\) (শর্ত মেলেনি)।